통신사 하람: 무거운 경로 장부

다음 모래폭풍이 도착하기 전 처리 여부를 결정하려면 사막 전파 중계소의 잡음 섞인 신호열을 빠르게 요약해야 한다. 이 임무는 통신사 하람에게 맡겨졌다. 이번 기록에서 해야 할 일은 다음과 같다. 각 경로 합의 절댓값을 출력한다. 기록은 정상적으로 수집되었지만 정렬되어 있다는 보장은 없다. 필요한 순서가 있다면 프로그램이 직접 만들어야 한다. 자료의 형식은 아래 입력 설명을 따르며, 범위를 벗어난 값이나 손상된 기록은 주어지지 않는다. 1≤N,Q≤200,000이며 모든 경로 합의 절댓값은 10¹⁸ 미만이다. 조건을 만족하는 대상이 없을 때의 답도 정의되어 있으므로 빈 후보 집합을 빠뜨리지 않는다. 프로그램은 입력 전체를 표준 입력에서 읽어야 한다. 제한 안의 가장 작은 사례와 가장 큰 사례, 값이 한쪽으로 치우친 사례가 모두 채점에 포함될 수 있다. 따라서 예시에서 우연히 성립하는 규칙이 아니라 정의된 절차를 모든 유효한 입력에 적용해야 한다. 계산 과정에서 자료를 복사하거나 정렬하는 경우에도 원래 위치와 1-based 번호의 의미가 사라지지 않도록 주의한다. 다음 모래폭풍이 도착하기 전 통신사 하람이 바로 사용할 수 있도록 요구된 결과만 출력하라.

첫 줄에 N Q, 둘째 줄에 정점 값, 다음 N-1줄에 트리 간선이 주어진다. 명령 1 v x는 값 교체, 2 u v는 경로 합 질의다.

각 경로 합의 절댓값을 출력한다. 각 값 외의 설명 문장은 출력하지 않는다.

핵심 주제: Heavy-Light 분할. 무거운 자식을 먼저 배치하면 임의 경로가 O(log N)개의 연속 구간으로 분해되어 점 갱신 구조와 결합할 수 있다.