폐광 로봇 통제소의 무거운 경로 장부

예기치 않은 점검 명령이 폐광 로봇 통제소에 도착했다. 안전 담당 루미에게 남은 자료는 갱도 탐사 로그뿐이며, 계산은 한 번의 입력으로 끝내야 한다. 이번 기록에서 해야 할 일은 다음과 같다. 모든 경로 합 답의 합을 출력한다. 검수기는 정답 값만 비교한다. 과정이 여러 가지여도 규칙을 정확히 만족하는 최종 결과는 하나로 정해진다. 자료의 형식은 아래 입력 설명을 따르며, 범위를 벗어난 값이나 손상된 기록은 주어지지 않는다. 1≤N,Q≤200,000이며 모든 경로 합의 절댓값은 10¹⁸ 미만이다. 한 번 처리한 결과를 다음 단계의 원본 값으로 되돌려 쓰지 않는다. 모든 판정은 명시된 상태를 기준으로 한다. 프로그램은 입력 전체를 표준 입력에서 읽어야 한다. 제한 안의 가장 작은 사례와 가장 큰 사례, 값이 한쪽으로 치우친 사례가 모두 채점에 포함될 수 있다. 따라서 예시에서 우연히 성립하는 규칙이 아니라 정의된 절차를 모든 유효한 입력에 적용해야 한다. 계산 과정에서 자료를 복사하거나 정렬하는 경우에도 원래 위치와 1-based 번호의 의미가 사라지지 않도록 주의한다. 지지대 재검사가 시작되기 전 안전 담당 루미가 바로 사용할 수 있도록 요구된 결과만 출력하라.

첫 줄에 N Q, 둘째 줄에 정점 값, 다음 N-1줄에 트리 간선이 주어진다. 명령 1 v x는 값 교체, 2 u v는 경로 합 질의다.

모든 경로 합 답의 합을 출력한다. 각 값 외의 설명 문장은 출력하지 않는다.

핵심 주제: Heavy-Light 분할. 무거운 자식을 먼저 배치하면 임의 경로가 O(log N)개의 연속 구간으로 분해되어 점 갱신 구조와 결합할 수 있다.